(∫_2^4)Cos[x]\[DifferentialD]x

%//N

(∫_2.^4)((((Cos[x]))^2)/(E^x))\[DifferentialD]x

(∫_2.^4)((((Cos[x]))^2)/(E^(x^2)))\[DifferentialD]x

(∫_2.^4)((((Cos[x]))^2)/((x^3)+(E^(x^2))))\[DifferentialD]x

NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.`,4}]

съставяме мрежата:

a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]

по-гъста мрежа:

a=2.;b=4;
n=40; h = ((b-a)/n);
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]

намираме приближение на интеграла по формулата на левите правоъгълници

a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]

с повече точки

a=2.;b=4;
n=40; h = ((b-a)/n);
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]

още по-точно:

a=2.;b=4;
n=400; h = ((b-a)/n);
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]

намираме приближение на интеграла по формулата на Симпсън (параболите)

a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
m = n/2;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
IS =(h/3)(f[a]+4(∑_(i=1)^m)f[a+(2i-1)h]+2(∑_(i=1)^(m-1))f[a+(2i)h]+f[b]);
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на Симпсън е (Subscript[I, S]) = ",IS]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, S])| =  ",Abs[Itochno-IS]]

по-точно:

a=2.;b=4;
n=40; h = ((b-a)/n);
m = n/2;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
IS =(h/3)(f[a]+4(∑_(i=1)^m)f[a+(2i-1)h]+2(∑_(i=1)^(m-1))f[a+(2i)h]+f[b]);
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на Симпсън е (Subscript[I, S]) = ",IS]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, S])| =  ",Abs[Itochno-IS]]

(0.05^4)

ТЕОРЕТИЧНА ОЦЕНКА НА ГРЕШКАТА

за леви правоъгълници:

Plot[Abs[f'[x]],{x,2,4}]

M1=12;
a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
R1 = ((((b-a))^2)/(2n))*M1

добавяме към общия код за леви правоъгълници:

a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
M1=12;
R1 = ((((b-a))^2)/(2n))*M1;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, 1]) =  ",R1]

по - точно

a=2.;b=4;
n=400; h = ((b-a)/n);
M1=12;
R1 = ((((b-a))^2)/(2n))*M1;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
(*Print["Мрежата е ", mrezha]*)
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, 1]) =  ",R1]

за Симпсън:

Plot[Abs[f''''[x]],{x,2,4}]

Plot[Abs[f''''[x]],{x,2,2.1}]

M4=Abs[f''''[2]];
a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
R4 = ((((b-a))^5)/(180(n^4)))*M4

добавяме към общия код за Симпсън:

a=2.;b=4;
n=4; h = ((b-a)/n);
M4=Abs[f''''[2]];
RS = ((((b-a))^5)/(180(n^4)))*M4;
m = n/2;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
IS =(h/3)(f[a]+4(∑_(i=1)^m)f[a+(2i-1)h]+2(∑_(i=1)^(m-1))f[a+(2i)h]+f[b]);
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на Симпсън е (Subscript[I, S]) = ",IS]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, S])| =  ",Abs[Itochno-IS]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, S]) =  ",RS]

по-точно

a=2.;b=4;
n=40; h = ((b-a)/n);
M4=Abs[f''''[2]];
RS = ((((b-a))^5)/(180(n^4)))*M4;
m = n/2;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
IS =(h/3)(f[a]+4(∑_(i=1)^m)f[a+(2i-1)h]+2(∑_(i=1)^(m-1))f[a+(2i)h]+f[b]);
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на Симпсън е (Subscript[I, S]) = ",IS]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, S])| =  ",Abs[Itochno-IS]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, S]) =  ",RS]

изчисляване на брой подинтервали за достигане на грешка ϵ = 0.001

за леви правоъгълници:

eps = 0.001;n=.
Reduce[((((b-a))^2)/(2n))*M1≤ eps]

a=2.;b=4;
n=24000; h = ((b-a)/n);
M1=12;
R1 = ((((b-a))^2)/(2n))*M1;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
(*Print["Мрежата е ", mrezha]*)
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
I1 = (∑_(i=0)^(n-1))h*f[a+i*h];
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на левите правоъгълници е (Subscript[I, 1]) = ",I1]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, 1])| =  ",Abs[Itochno-I1]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, 1]) =  ",R1]

за Симпсън:

eps = 0.001;n=.
Reduce[((((b-a))^5)/(180(n^4)))*M4≤ eps]

избираме най-малкото цяло ЧЕТНО число, което е решение на неравенството n = 26

a=2.;b=4;
n=26; h = ((b-a)/n);
M4=Abs[f''''[2]];
RS = ((((b-a))^5)/(180(n^4)))*M4;
m = n/2;
mrezha = Table[a+i*h,{i,0,n}];
Print["Броят на подинтервалите е n = ",n, " стъпката е h = ",h]
Print["Мрежата е ", mrezha]
f[x_]:=((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3)))
Itochno = NIntegrate[((2345((Cos[x])^2))/((E^(x^2))+(x^3))),{x,2.,4}];
IS =(h/3)(f[a]+4(∑_(i=1)^m)f[a+(2i-1)h]+2(∑_(i=1)^(m-1))f[a+(2i)h]+f[b]);
Print["Точната стойност на интеграла е \!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\) = ",Itochno]
Print["Приближената стойност на интеграла по формулата на Симпсън е (Subscript[I, S]) = ",IS]
Print["Точната грешка на приближението е |\!\(\*SubscriptBox[\(I\), \(точно\)]\)-(Subscript[I, S])| =  ",Abs[Itochno-IS]]
Print["Теоретична грешка на приближението е (Subscript[R, S]) =  ",RS]